考研名师李永乐指导数学冲刺

主持人：大家好，今天我们请到考研数学名师李永乐老师给我们讲讲考研数学方面的一些复习情况。2003年考研在即，相比大家都进入了复习的阶段，非常紧张。简单介绍一下李永乐老师，他是清华大学的应用数学系的教授，而且是考研数学阅卷组组长。李老师给网友们打个招呼吧

　　主持人：大家好，今天我们请到考研数学名师李永乐老师给我们讲讲考研数学方面的一些复习情况。2003年考研在即，相比大家都进入了复习的阶段，非常紧张。简单介绍一下李永乐老师，他是清华大学的应用数学系的教授，而且是考研数学阅卷组组长。李老师给网友们打个招呼吧。

　　李永乐：大家好。

　　主持人：现在网友们已经开始提问了，我们就直接进入正题。

　　网友：我是大三的学生，请问数学第一轮的复习该如何进行？

　　李永乐：大三的同学考研还有一年的时间，你们是大一大二学的数学，到考研还有一个阶段，因为你们毕竟放下了一段时间了，所以第一个阶段大家就把原来的课本找出来，用课本复习一些基础知识、基本概念，做一些基础题。从现在考研的情况看，基础题丢分比较多。所以第一步是复习基础知识，在这个基础上，再考虑综合性的提高。明年的三月份开始，用三个月左右的时间，把第一轮过一下。

　　网友：去年的数学题比较简单，今年的年度会不会难一些？

　　李永乐：考研有一个控制线，他希望数学的分数平均分在50到55分之间，从今年的统计情况来看，考试中心每年阅完卷子以后都有一个统计，数一的平均分稍微高了一点，是54.49，数学二是53.09，数学四是54.62，根据这个情况看，数学一是不是稍微一点，因为今年的平均分超过了期望值，期望是50到55之间，所以数学一会不会稍微难一点，但是考试要稳定的，即使难的话，也不会有大的跳跃。其他三个卷种，分数在控制范围之内，明年其他三个卷种是不是还应当大体上持平了。

　　网友：复习线性代数有没有什么更好的方法？

　　李永乐：代数主要是概念特别多，代数这门课知识连接的特别紧密，你们上学第一章学的是行列式，涉及到后面的每一个内容，比如说矩阵、可逆，线性判断的，还有矩阵的特征值，甚至于二次形的阵定，由这个小的例子，大家应当看到，作为代数前后知识咬得特别紧，所以大家复习的时候，首先注意概念，然后把知识的转换工作做好，同学在代数上要出错的话，概念性的错误更多一些，所以大家复习的时候一定要重视概念。

　　网友：我已经复习了很多遍，但是做高数综合题的时候，还有思路阻塞的问题，是多看书还是多做题比较好？

　　李永乐：我的想法是这样，作为一本复习资料的话，大家看一遍是绝对不够的，大家对复习资料最少最少应当看三遍，要有一个反复的体会，当你第一遍看这道题的时候，也许觉得懂了，但是等到你第二遍看它，可能就会有一些新的启发。所以我想，大家在复习的过程当中，不要单纯地就题论题，单纯搞题海战术，意义不太大，大家做题的过程当中有一个反复，经常想一下，这道题还能不能用别的方法做，这道题给了我一些什么启发，有一些什么概念性的、方法性的东西。这样的话，比大家额外的再多做多少道题效果好一些。有一些综合题做不上来，这也正常，有一道两道比较困难的题做不动，我觉得不要影响大家的情绪，不要影响大家的信心。

　　网友：每年的应用题都很难，有没有什么诀窍来提高应变能力？

　　李永乐：应用题也是一个考核的重点，数学的解答题里面，其中一个重要考核的就是考核大家的数学能力，在数学能力里面，其中数学建模能力比较重要，年年的建模题都是比较新颖的题目，大家做起来比较困难，也很正常。从这些年考试中心统计的情况看，建模题得分相对来说比较低一些，反映同学应用能力稍微弱一些，这有一个反复的积累，因为这肯定是一个新的问题，大家很难在现成的书里找到答案，所以还是把基本的东西搞通，基本的东西搞通以后，触类旁通，应用题还是能做出来的。

　　网友：做高数不定积分的时候，由于解题方法的不同，出现答案和标准答案形式不太一致的情况，这种情况应该如何办？会不会出现扣分的情况？

　　李永乐：这个不会，只要大家做正确的，如果你的答案都是等价的，哪一个答案都可以。

　　网友：李老师能不能推荐一些好的研修班？

　　李永乐：这是指什么阶段的？

　　主持人：大三这个阶段。

　　李永乐：研修班作为我来说不太好说，因为现在社会上办的班还是很多的，所以我觉得，同学还要加以选择，多听听多问问，问问高班的同学的经验和体会。因为我感觉，现在有一些商业炒作得比较厉害，准备考研的话，就要学会保护自己，你们最关键的还是时间，大家在选读辅导班或者选一些辅导资料的时候，还是要慎重一些，具体的很抱歉，我不太好说。

　　网友：请李永乐介绍一下数学150分里的结构。

　　李永乐：数学150分的结构，按照今年新的考试大纲的情况看，是这样的，6个填空题，每道题4分，6个选择题，每道题4分，48分了。还有10道解答题，一共102分。数学一是这样的，微积分，也就是高等数学是60％，代数概率各20％，代数概率各三个小题两个大题。

　　数学二主要考微积分和线性代数，线性代数是五道题，35分，剩下的都是微积分。数学三和数学四的话，线性代数和概率也是各5道题，各38分，微积分是74分。

　　网友：我考的是数学二，现在才刚刚开始做模拟题，是不是有点晚了？

　　李永乐：现在做还应当来得及吧，比如说你做到12月中旬，一个月的时间，现在做应当还来得及。但是做模拟题的话，如果你想效果好一点，是不是一定要有这么几套卷子，是你用足的三个小时的时间，这三个小时的时间里不要看后面的答案，哪怕做的过程当中有一些题不会，也不要急着看答案，只要把时间投进去，你真是挖空心思，三个小时到了，还有几道题做不出来，你再看看答案，这样的收获可能会好一些，我想一定要有几套题。

　　还有一些模拟题，如果来不及做的话，还可以零敲碎打，做几道题，不会的，看看答案，有这么两种方法来做，可能会效果好一些，现在还不需要。

　　网友：上班族想考研有没有什么捷径可以走？

　　李永乐：我接触的一些同学和朋友就比较辛苦了，上班也不好看书，单位也不太允许，这样就要想办法克服困难，把休息时间更多地用来读书。再有一个，有可能的话稍微请一点假，跟单位协商一下，自己好好复习一下。上班的朋友，确实是比较辛苦。

　　网友：今年的题目难度相对于去年有没有加大的趋势？

　　李永乐：前面已经有同学提到这个问题了，我的感觉不会，因为他考试要有一个相对的稳定性。另外，数学2、数学3、数学4又在控制的分数范围之内，所以我想，不会有太大的提高。数学1的话，稍微超出了一点，超出的也不是特别多，56.49，跟55比，超出1.49分，也许会稍微难一点点。

　　主持人：有网友问概率的问题。

　　李永乐：对不起，我讲的是线性代数，所以代数的问题我可以回答一下。

　　网友：现在离考研已经时日不多了，什么时候开始冲刺比较合适？

　　李永乐：考前一个月吧，整个的复习要告一段落，模拟题也做了一些了，这样的情况下，用最后一个月的时间很好地把你复习过的东西整理、消化，再全面系统化一下，最后一个月可以进入冲刺阶段。

　　网友：您的四百题比考研难多少？做100分的话，考研能拿多少分？

　　李永乐：我们编这四百题的时候，因为数学题目千变万化，所以大家在复习阶段，你说我能够碰上考题，压上考题，这个东西有点不太现实，所以复习阶段，主要还是把大家的能力提高上去。我们编四百题，几个同学的想法，一个是要综合性稍微强一些，因为感觉知识的接口不太好，不会知识的转换，所以我们编这些题的时候，尽量设计得知识点稍微多一些，有一些知识点不见得特别难，但是同学们可能一时不到这两个定理，或者是这两个公式有一些内在的联系和转换，因此，有些同学做这四百题可能会感觉到有些题目稍微难一些。但是我们在四百题里面，也还有一部分题目是比较基础的，检查大家基本概念的题目。四百题，如果有一些题目做不动，还是前面说过的，不要影响大家的情绪，不要觉得我复习得挺好了，怎么还有好多题不会做。我们设计的时候，觉得应当比2002年的考研题要难一些，这样的话对大家准备2003年的考试相对好一些。

　　网友：线性代数是不是意味着要大量做题就能提高？

　　李永乐：不一定，当然首先要适当地做一些题目，比如说三个未知数的七次方程组，应当算是比较基本的题目了，这种题目求基础解析就求得不好，这里的基础解析不好，就影响后面的矩阵的特征向量，所以大家对基本的东西一定要过关。作为代数来说，概念性特别强，知识的综合性又特别强，所以大家在复习代数的时候，就一定要把概念搞清楚，同学出错往往是在概念上，因为概念没有理解清楚，就导致方法上、运用上的一些失误。

　　网友：是不是线性代数没有见过的题目就不大可能做出来？

　　李永乐：不是的。线性代数命题的情况看，也不是要命多难的题目，考研的定性是一个选拔考试，既然是选拔考试，所以这个题出来以后，就希望同学们把分给拉开，所以他有两种题不出的，一种题大家都会，一道题出出来，90％、95％的同学都会的话，这种题目就出得不合适了，因为这样的话，不利于同学把分拉开。另外一种就是大家都不会，一道题一出来，只有非常非常少的同学会做，这样的题目，对考试选拔优秀学生也是不利的。所以作为代数来说，题目不会特别难，只要大家概念清楚，代数题还是很好得分的。

　　网友：线性代数线性无关的题一直不得要领，该怎么解答？

　　李永乐：这一直是考核的重点，大家复习线性代数相关和无关的时候，证明一定要注意，从以往的考题情况来看，比较多的方法是用定义法来证明这个相等小组是线性无关的。这样一种方法，通常是这样的，假设一个式子，进行恒等辨析……这样的话，大家就要稍微积累一点经验，怎么对这个式子做恒等辨析，通常找一个代数式子来乘刚刚等式的两边，通过乘要出现0个，然后把表达式简化，通过简化。大家看看相关的复习资料，大家从已知条件里找信息。

　　当然在考研题里，也涉及到用质的方法，想办法证明这个向量小组的质，大家要用质的一些定理和概念来处理。

　　网友：线性代数的重点不好把握，在有限的时间里，应当如何分配这些重点？

　　李永乐：从代数来看，行列式和矩阵两块是一个基础知识，这两部分，从以往的情况看，出的大题不是特别特别多，出过大题，但是大题的比例相对小一些，作为解答题，比例相对小一些。向量、方程组、特征值这三块，一直是考核里面出大题比较多的地方。尤其是特征值，它把前面的知识点全涉及到了，从行列式、矩阵、向量、方程组都涉及到了，所以我想，复习的时候，特征值是不是应当更重视一些，因为这个题目本身综合性就比较强，涉及到的前面的知识就比较多一些。

　　网友：李老师，能不能预测一下今年数1出题的方向？

　　李永乐：这个不太好说，考研的题目实际上年年都有变化，但是从代数的角度来看，还是像刚才，向量里面、方程组、特征值，我觉得从以往的情况里看，这也就是一个考核的分量，这三块是不是应当更重视一些。

　　网友：线数的概念非常非常多，怎么样才能把这些概念融会贯通？通过什么方式更好地把这些概念吸收，更好地学习和掌握这些概念？

　　李永乐：这方面大家要学会举一点简单的例子，你要有正面的也要有反面的，这样的话可能对有一些概念理解得更清楚一些。比方说前些年数1有一道考题，涉及到两个概念，一个是向量组的等加，一个是矩阵的等加，这样编的一道选择题，结果我们就发现有些同学这两个概念搞混了，都是等价，什么叫向量组的等价，什么叫矩阵组的等价，有没有内在的联系等等，这个东西大家一定要正面想，同时也要注意反过来。如果你有一些反面的例子，概念的加深上是不是就容易一些。前几年还有一个地方，给了大家一个线性方程组，这个方程组现在是无解，求一个参数，从改卷子的情况看，也是很多同学概念性错误，他们就认为这个方程组无解系数就是得0，实际上他忽略了一点，因为行列式不得0，方程组有唯一解，行列式得0的话，有两种可能性，可能是无解，也可能是无穷多解。所以我想，就大家复习这些概念的话，一定要想得稍微仔细一些，尤其是一些类似的地方，大家也要想一下。比如说什么叫矩阵的质，什么叫做向量组的质，他们之间有区别没有，有联系没有，这些东西大家一定要琢磨一下，这样的话可能会少犯很多错误，要不然的话，再做选择题的话，就容易掉进陷井里面，因为命题就是考核大家对这些概念的理解。

　　网友：在大学里没有学过线性代数，应该怎样去复习线性代数？怎样更快地融入线性代数的环境中？

　　李永乐：要是一点都没学过，现在还只有两个月的时间，马上要备考的话，我觉得是不是有点困难了。我想最好还是在学校里听这门课，跟着新生班的同学把这门课听一下。

　　网友：线面积分和曲面积分难点解决的关键所在是什么？

　　李永乐：这一直是数学1里面考核的比较重要的内容，所以我想，线面积分，大家首先把概念搞清楚，然后计算各类积分的基本方法是什么，首先要把这些东西搞清楚。另外，看看有些地方是不是有一些窍门，有一些公式是不是可以用，这部分作为数1的同学，还是应当注意的，因为从以往考试来看，曲线积分和曲面积分考得都是比较多的。

　　网友：现在好象看什么都会，但是做题却做不出来，现在应当怎么看待这个问题？

　　李永乐：这样的同学，在做题的时候不要看答案，自己把答案给挡上，我投入一些时间，我想一下，这个题应怎么做。因为你一看题目，刚一想不会，想到两分就不会了，马上看答案，对你的收获不大。你拿到这道题以后，我就来做，做不动不要急着看答案，你投入适当的时间，实在实在做不动了，这时候你再看看答案，你就能体会到你的缺陷在什么地方了，就可以把你的缺陷给补上。要不然，很快地一看全看过了，到自己一做题就卡壳了，不知道是什么概念或者是什么方法了。所以一定要把答案挡上，做一做，憋一憋，做不出来别泄气。

　　我们写了一本最后冲刺的书，这本书同学们如果有兴趣的话，也可以翻一翻。最初我们是想写成模拟题，后来考虑到时间比较紧了，对同学最后阶段，再做题的效果不一定好，所以我们就采取了一个我们感觉到比较重要的问题，编写的一些例题，把一些方法做了一些归纳。一共有两个，一个是理工类的，一个是经济类的。因为明年改成150分了，所以我们也起了一个比较好听的名字，希望大家数学上能够拿高分。这本书大家到12月中旬以后可以看一看，帮助你把知识进一步整理一下，这本书可以供大家参考。大家可以作为一种选择的地方。

　　网友：现在进入冲刺阶段了，有大量的模拟题，想做大量的模拟题，有没有一个量，需要做多少？比如说今天开始，应该做多少套题才能算是真正的掌握，真正的有把握应付这个考题？会不会超过一定的量就没有作用了？

　　李永乐：现在社会上模拟题非常多，书也好，以各种各样形式出现的模拟题都非常多。就一条，大家不要寄希望于通过做模拟题碰上的考题，如果大家把希望寄托在我碰上的考题，这样一种思路是不是就不怎么妥当。我觉得，大家通过做模拟题，一个是你要检查你自己复习当中的漏洞，比方说，你原来看书的时候，你看到一个问题，比方说在方程组这里出现的，你的思路很自然地就往方程组这里想，然后这儿一个问题出来了，比方说一个特征值的问题，可能在特征值的标题下，思路就往特征值这里想了。但是作为考研的话，明年开始22题，这道题到底考核你哪个知识点，就需要大家通过做模拟题积累一点经验，这道题到底是考你什么知识。通过做模拟题把自己复习当中的漏洞，这个漏洞有知识上的，有概念上的，可能也有方法上的，把这些漏洞补一补。

　　再有一个，也要通过做模拟题，积累一点经验，时间怎么安排，这22道题时间的控制大概是怎么样，最好不要做着做着最后来不及做了，有一些题做不完。因为我们改卷子，总有这样的同学，卷子上就这么写了，老师，对不起，我没时间了，这道题我想怎么怎么做。结果有一些题就写一点思路，写思路绝对没分的，这道题我想这么做，再那么做，写这种思路是不会有分的，所以大家通过做模拟题积累起这样的经验，大概时间怎么安排。

　　从考数学的角度，一般把填空题的设计，难度是中等和中等偏下，所以大家刚一进考场的话，还是应当从填空题开始，这样的话你心情上可以稍微平静一些，争取后面发挥得好一些。然后做选择题，再做解答题。一套卷子里面会有一两个难题，命题就事先规定好的有这么一两个难题，你就要在做模拟题的过程当中学会安排时间。模拟题到底做多少套，我觉得很难说，从现在开始做，做到考完试，可能你的模拟题也做不完，现在社会上模拟题太多了，大家根据自己的情况，还是适当做一做。你觉得你基本的东西搞清了，是不是就可以了，不要寄希望于压题上。

　　网友：有没有诀窍可以提高解题技巧？

　　李永乐：学代数还要注意一点总结，稍微归纳一下，什么样的题目大概怎么做，做这种题目什么地方可能会出错，从各个角度加以归纳，把你复习过的内容稍微梳理一下。比方说特征值里面，怎么求特征值，怎么求特征向量，是不是稍微归纳一下。简单的说有两种方法，一种方法是用定义的方法来分析，另外一种方法，通过特征多项式和基础解析，大家复习的时候，总结一下这些东西，看一看相应的复习资料，不知道这位同学手头有什么复习资料，把这些复习资料好好看一看，复习资料里面会帮你归纳，帮你总结。

　　网友：在考试的时候，填空题和选择题，两个题加起来，应该分配百分之多少的时间去做才能在做后面的题的时候得心应手？

　　李永乐：我没有完整的做过这么一套卷子，作为时间来说还真说不好，所以还请同学自己稍微积累一下经验。不过我想，填空题是这样的，计算量不会大，所以填空题如果你做得特别复杂了，我倒建议你暂时停一下，先做做别的题目，选择题的话，主要是一个概念性的问题，所以大家概念要清楚的话，选择题做起来还应当可以的。

　　解答题里面，应当是有难题的。

　　网友：在多元函数积分部分，让您出三道大题，您会侧重于哪三部分的知识点？

　　李永乐：如果我出题，我肯定要出一个曲线积分或者是曲面积分，因为这是数学1多元里面的一个重要内容。然后奇数也好，微分方程也好，可能会设计一道题目。另外一个，我想我可能会在微积分的证明题里面设计一道题目。

　　网友：您批改试卷的时候，大题目中，怎么样才算是拿到了步骤分？有没有什么诀窍？

　　李永乐：如果同学要有一点经验以后，你见到一道大题的话，应当知道这道题在考核你哪些知识，出这道大题是在考你什么，如果你能体会到这一点，你把一些重要的知识点处理好，这些分是应当有的。首先，你要解这道大题，得把大体的思路稍微清楚一些，知道这道题关键是哪几步。作为阅卷教师，对同学还是非常负责任的，每一个卷子都看得比较仔细，大家在答卷的过程当中，不会因为老师的粗心大意或者是老师的不负责任受损失。每次改卷子的有校对的，有复核的，还有质量检查组，对同学的卷子是要做认真的评判。

　　网友：做四百题的时候，有时候可以得一百分，有时候又只能得六十分，这种情况说明题的难度不同还是方法问题？

　　李永乐：我们在设计这几套卷子的时候，每套卷子的难度不太一样，有的卷子的难度是稍微偏大一点，有些卷子的难度稍微就偏低一点，这是一种可能性。你碰到的一道稍微难一点的卷子，有些题答不上来，没有答好，这是一种可能性。还有一种可能性，是不是要检查一下，你答六十分的是在哪些题上出错的，在一百分的题里面，有没有相应的一些知识点，是不是你某些知识点上没有搞清楚？如果因为某些知识点，某些知识的衔接没有搞好，导致这几道题没有做出来，这也是有可能的，所以就分析一下，我这道题没有做好的原因究竟是什么。

　　网友：有时候答题的时候，前面的步骤有问题，错了，但是后面的步骤是对的，这种情况下，您会不会给分？

　　李永乐：阅卷有一个要求，对每个同学的卷子都要从头看到尾，不是说你答案错的，就不管了，是按照你答题的整个情况里检查，有些地方做错了，我们的卷子还会往下看，因为一道考研题目，往往不是一种解法，有一些考研题，我们遇到多的有七八种解法，这样的话，每个同学的卷子我们都会仔细地看，也许还有这样的情况，你的这种做法你没做完，但是老师阅卷的过程当中，发现你这种方法可以，如果可以的话，我们就要研究，比如说你这种做法，如果继续往下做，做对了怎么给分，你现在做到这个步骤，怎么给你分，这些东西都是有的。因为作为考试中心来说，他所发的评分标准，是一个指导性的，这个评分标准里面，一般是有一种解法或者是两种解法，我们在阅卷的过程当中，往往同学也有很多很好的想法，把同学的这些想法给扩充，可能就有第三种、第四种、第五种解法，对每种解法我们都要设置相应的评分标准，所以同学在这方面不必担心。

　　网友：我只看课本，不看专门的辅导书，这种方法是不是也能够考研考出好成绩？能不能离开专门的辅导书，而只把课本啃得很熟很透？

　　李永乐：我觉得可能要受影响。大家注意一下，我们考研是22道题，考三门课，现在命题也有要求，考核的知识点要尽量地覆盖得多一点，大家想象22道题，3门课，一章出一道题，题目都不够，所以很自然的就有一些题目要涉及到两章，甚至于三章的知识。

　　比如说96年开始，还出现了这样的题目，就是微积分和代数相结合，微积分和概率相结合，代数和概率相结合，还出现了这样的题目，题目有一定的综合性。因此，大家只要看课本，你的综合能力上是不是就要受一些影响。所以我觉得，看课本是重要的、必要的，但是多多少少要受一些限制。

　　因为课本里面，学完的第一章，后面的习题就是不是就用第一章的东西？学完第二章，是不是后面的东西都用第二章的知识？有编的综合性的题目，所以我觉得其是应该看一本复习资料。

　　网友：曲面积分的复习总是不得其法，能不能详细讲一下应该如何复习？

　　李永乐：现在不好马上回答这个问题，曲面积分这段，如果特别特别困难的同学，你就看几个典型的例题，把复习资料上的一些典型的例题反反复复地琢磨一下，把一些东西搞清楚。

　　网友：李老师，我经常在做题的过程当中，出现一些运算的低级错误，到底是方法问题还是什么方面的问题？应该如何避免低级错误的出现？

　　李永乐：改卷子里面，低级错误还是相当多，不少同学就是因为这些低级错误把分丢光了。同学在复习阶段，是不是一定要重视这个，基础题不能只停留在我看一看，一看我会的我就不管了，具体一做，不是正负好出错了，就是系数错了，或者什么地方出错了，如果这样的话，你的考试就大大受影响了。这个阶段，大家还是要做一点题目，不要停留在看。如果做错了，你现在是复习嘛，也不要老原谅自己，下回我小心，你现在就应当不原谅自己，对出错的地方一定要仔细。

　　基础题丢分丢得太多了，我想数学考不好，往往有很多同学都是基本运算没过关，所以刚刚这位同学提的，我希望引起其他同学的重视。

　　主持人：很多网友都很关心您组编的四百题，他们都想知道是不是只看您这个题就能够在考研中取得好成绩？

　　李永乐：是这样，我们编四百题只不过是给同学一种训练，训练你的一些思维方法，训练你把一些知识点衔接起来。到底怎么样算行，什么叫看四百题就够了，我的想法是这样，如果你通过做四百题，你把思路整理清楚了，把一些知识点的衔接转换搞清楚了，这就达到目的了。因为考研题目可以千变万化，一道考研题目可以有各种各样的变式，关键是大家要有一种以不变应万变的心态，考研题目可以变来变去，可以出很多各种各样的新花样，但是我训练好了，我的思路清楚了，方法清楚了，知识的接口把握得比较好，我应付这些考题就可以。所以我们编的初衷是这样的情况，是不是完全符合同学的口味，我也希望同学给我反馈一些信息，便于我们更好地修改。

　　网友：数三是不是考曲面等知识？

　　李永乐：数三不考空间解析几何，不应当有空间解析的东西，但是应该有重积分了，里面涉及到一些曲面的知识。

　　主持人：今天的时间也差不多了，聊天到此结束，非常感谢李老师百忙之中参加我们的聊天，给网友提了非常宝贵的意见，这个机会非常难得，谢谢。

　　李永乐：请同学抓紧时间。